Арифметические операции в позиционных системах счисления.

Во всех позиционных системах счисления справедливы одни и те же законы арифметики и арифметические операции выполняются по одинаковым правилам в соответствии с составленными таблицами сложения и умножения. Наиболее простыми являются таблицы сложения и умножения в двоичной системе счисления.

Таблица 1. Сложение и умножение в двоичной системе счисления

На основании данных таблиц можно составить правила выполнения сложения, вычитания и умножения над двоичными числами. Операция деления выполняется посредством операций умножения и вычитания.

Таблица 2. Правила выполнения арифметических операций над двоичными числами

Аналогичным образом можно составить таблицы сложения и умножения и выписать правила выполнения арифметических действий для любой р-ичной системы счисления.

Таблица 3. Таблица сложения в шестнадцатеричной системе счисления

Каждый элемент сложения равен предыдущему в строке или в столбце, увеличенному на единицу.

Таблица 4. Таблица умножения в шестнадцатеричной системе счисления

Вычисление элементов р-ичной таблицы умножения представляет собой прибавление базовой цифры столбца к числу, стоящему на одну клетку выше. Очевидно, что любая таблица сложения (умножения) в силу закона коммутативности симметрична относительно главной диагонали.

В любой р-ичной системе счисления сложение выполняется поразрядно аналогично сложению десятичных чисел на основании таблиц сложения. Если результат сложения двух цифр в данном разряде в р-ичной системе счисления больше, чем р-1, то происходит перенос единицы в старший разряд.

Пример 1.

а) Выполнить сложение двоичных чисел.

X=1101.01, Y=101.11;

1101.01

+  101.11

10011.00

Ответ:10011.

б) Выполнить сложение восьмеричных чисел.

X=7340, Y=671;

7340

+  671

10231

Ответ:10231.

в) Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел.

X=FC2, Y=E7;

FC2

+  E7

10A9

Ответ:10A9.

Вычитание в р-ичной системе счисления также выполняется поразрядно столбиком по аналогии с десятичной системой счисления. Если в данном разряде уменьшаемое число меньше вычитаемого, то занимается единица из старшего разряда. В двоичной системе счисления занимаемая единица из старшего разряда равна двум единицам данного разряда.

Пример 2.

а) Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101.1. Вычислить X–Y.

10010.0

–  101.1

01100.1

Ответ: 1100.1.

б) Заданы восьмеричные числа X=7631 и Y=456. Вычислить X–Y.

7631

–  456

7153

Ответ: 7153.

в) Заданы шестнадцатеричные числа X=1998 и Y=A1F. Вычислить X–Y.

1998

–  A1F

F79

Ответ: F79.

Умножение двух многозначных чисел в р-ичной системе счисления также выполняется по тем же правилам, что и в десятичной системе с последовательным умножением цифр первого сомножителя на второй сомножитель с помощью таблиц умножения и сложения. Если складывать приходится более трех слагаемых, то сложение целесообразно производить последовательно для избежания ошибок.

Пример 3.

а) Выполнить умножение двоичных чисел.

X=1101.01, Y=101.11;

110100

х  10110

1101

+ 1101

100111

+ 1101

10001111000

Ответ:10001111000.

б) Выполнить умножение шестнадцатеричных чисел.

X=FFA.3, Y=D.E;

FFA.3

x     D.E

DFAE A

+ CFB4 7

DDAF.5 A

Ответ: DDAF.5A.

При делении столбиком в р-ичной системе счисления в качестве промежуточных вычислений выполняются действия умножения и вычитания. Деление двоичных чисел сводится к сравнению этих чисел между собой и вычитанию из большего числа меньшее. Если результат деления не является конечной р-ичной дробью, то необходимо выделить непериодическую часть дроби и ее период.

Пример 4

а) Выполнить деление двоичных чисел 110001.1 и 1001.

110001.1	1001
– 1001	101.1
1101
– 1001
100 1
– 100 1
0

Ответ: 101.1.

б) Выполнить деление двоичных чисел 1010 и 11.

1010	11
–   11	11.0101…=11.(01)
100
–   11
100
–   11
1

Ответ: 11.(01).

в) Выполнить деление шестнадцатеричных чисел F127 и 8.

F127	8
– 8	1E24.E
71
– 70
12
–  10
27
–   20
70
–   70
0

Ответ: 1E24.E.

1. Сложить числа.

2. Выполнить вычитание.

3. Выполнить умножение.

Примечание. В заданиях 1-3 проверять правильность вычислений переводом исходных данных и результатов в десятичную систему счисления. В задании 1д) получить пять знаков после запятой в двоичном представлении.

Вариант 1

1. а) 10000011₂+1000011₂; б) 1010010000₂+1101111011₂;
   в) 110010,101₂+1011010011,01₂; г) 356,5₈+1757,04₈; д) 293,8₁₆+3CC,98₁₆.

2. а) 100111001₂-110110₂; б) 1111001110₂-111011010₂;
   в) 1101111011,01₂-101000010,0111₂; г) 2025,2₈-131,2₈; д) 2D8,4₁₆- A3,B₁₆.

3. а) 1100110₂ 1011010₂; б) 2001,6₈ 125,2₈; в) 2C,4₁₆ 12,98₁₆.

Перейти на отправку ответа

Вариант 2

1. а) 1100001100₂+1100011001₂; б) 110010001₂+1001101₂;
   в) 111111111,001₂+1111111110,0101₂; г) 1443,1₈+242,44₈; д) 2B4,C₁₆+EA,4₁₆.

2. а) 1001101100₂-1000010111₂; б) 1010001000₂-1000110001₂;
   в) 1101100110,01₂-111000010,1011₂; г) 1567,3₈-1125,5₈; д) 416,3₁₆-255,3₁₆.

3. а) 100001₂ 1001010₂; б) 1723,2₈ 15,2₈; в) 54,3₁₆ 9,6₁₆.

Перейти на отправку ответа

Вариант 3

1. а) 1110001000₂+110100100₂; б) 1001001101₂+1111000₂;
   в) 111100010,0101₂+1111111,01₂; г) 573,04₈+1577,2₈; д) 108,8₁₆+21B,9₁₆.

2. а) 1010111001₂-1010001011₂; б) 1110101011₂-100111000₂;
   в) 1110111000,011₂-111001101,001₂; г) 1300,3₈-464,2₈; д) 37C,4₁₆-1D0,2₁₆.

3. а) 1011010₂ 1000010₂; б) 632,2₈ 141,34₈; в) 2A,7₁₆ 18,8₁₆.

Перейти на отправку ответа

Вариант 4

1. а) 101000011₂+110101010₂; б) 111010010₂+1011011110₂;
   в) 10011011,011₂+1111100001,0011₂; г) 1364,44₈+1040,2₈; д) 158,A₁₆+34,C₁₆.

2. а) 1111111000₂-100010011₂; б) 1111101110₂-11100110₂;
   в) 1001100100,01₂-10101001,1₂; г) 1405,3₈-346,5₈; д) 3DD,4₁₆- 303,A₁₆.

3. а) 1011100₂ 1100100₂; б) 347,2₈ 125,64₈; в) 10,A8₁₆ 35,4₁₆.

Перейти на отправку ответа

Вариант 5

1. а) 1000101101₂+1100000010₂; б) 1111011010₂+111001100₂;
   в) 1001000011,1₂+10001101,101₂; г) 415,24₈+1345,04₈; д) 113,B₁₆+65,8₁₆.

2. а) 1101111100₂-100100010₂; б) 1011010110₂-1011001110₂;
   в) 1111011110,1101₂-1001110111,1₂; г) 1333,2₈-643,2₈; д) 176,7₁₆-E5,4₁₆.

3. а) 1101100₂ 1010011₂; б) 516,54₈ 44,64₈; в) 61,8₁₆ 48,9₁₆.

Вариант 6

1. а) 11100000₂+1100000000₂; б) 110101101₂+111111110₂;
   в) 10011011,011₂+1110110100,01₂; г) 1041,2₈+1141,1₈; д) 3C6,8₁₆+B7,5₁₆.

2. а) 10110010₂-1010001₂; б) 1101000000₂-10000000₂;
   в) 1100101111,1101₂-100111000,1₂; г) 1621,44₈-1064,5₈; д) 1AC,B₁₆- BD,7₁₆.

3. а) 1000000₂ 110110₂; б) 714,34₈ 133,4₈; в) 16,B₁₆ 2B,6₁₆.

Вариант 7

1. а) 1000001101₂+1100101000₂; б) 1010011110₂+10001000₂;
   в) 1100111,00101₂+101010110,011₂; г) 520,4₈+635,4₈; д) 2DB,6₁₆+15E,6₁₆.

2. а) 1101000101₂-111111000₂; б) 11110101₂-110100₂;
   в) 1011101011,001₂-1011001000,01001₂; г) 1034,4₈-457,44₈; д) 239,A₁₆-9C,4₁₆.

3. а) 1101101₂ 101010₂; б) 310,2₈ 40,5₈; в) 18,4₁₆ 35,4₁₆.

Вариант 8

1. а) 10101100₂+111110010₂; б) 1000000010₂+110100101₂;
   в) 1110111010,10011₂+1011010011,001₂; г) 355,2₈+562,04₈; д) 1E5,18₁₆+3BA,78₁₆.

2. а) 1010110010₂-1000000000₂; б) 1111100110₂-10101111₂;
   в) 1101001010,101₂-1100111000,011₂; г) 1134,54₈-231,2₈; д) 2DE,6₁₆-12A,4₁₆.

3. а) 10101₂ 11010₂; б) 575,2₈ 102,2₈; в) 55,4₁₆ 6,5₁₆.

Вариант 9

1. а) 1101010000₂+1011101001₂; б) 100000101₂+1100001010₂;
   в) 1100100001,01001₂+1110111111,011₂; г) 242,2₈+1153,5₈; д) 84,8₁₆+27E,8₁₆.

2. а) 1111110₂-1111011₂; б) 1111100000₂-111110011₂;
   в) 1111011111,1001₂-1010111100,01₂; г) 1241,34₈-1124,3₈; д) 15F,A₁₆- 159,4₁₆.

3. а) 1001010₂ 1101111₂; б) 1616,3₈ 61,3₈; в) 3A,38₁₆ 64,4₁₆.

Вариант 10

1. а) 1101010000₂+11100100₂; б) 100110111₂+101001000₂;
   в) 1111100100,11₂+1111101000,01₂; г) 1476,3₈+1011,1₈; д) 3E0,A₁₆+135,8₁₆.

2. а) 1010010100₂-11101110₂; б) 10000001110₂-10011100₂;
   в) 1110100111,01₂-110000001,1₂; г) 1542,5₈-353,24₈; д) 3EB,8₁₆- 3BA,8₁₆.

3. а) 111000₂ 100111₂; б) 157,4₈ 101,1₈; в) 19,7₁₆ 58,78₁₆.

Вариант 11

1. а) 1000111110₂+1011000101₂; б) 1001000₂+1101101001₂;
   в) 110110010,011₂+1000011111,0001₂; г) 620,2₈+1453,3₈; д) 348,1₁₆+234,4₁₆.

2. а) 1100001010₂-10000011₂; б) 1101000001₂-10000010₂;
   в) 110010110,011₂-10010101,1101₂; г) 1520,5₈-400,2₈; д) 368,4₁₆- 239,6₁₆.

3. а) 1100110₂ 110010₂; б) 177,4₈ 23,4₈; в) 10,6₁₆ 26,8₁₆.

Вариант 12

1. а) 1000111110₂+10111111₂; б) 1111001₂+110100110₂;
   в) 1001110101,00011₂+1001001000,01₂; г) 104,4₈+1310,62₈; д) 2BD,3₁₆+EB,C₁₆.

2. а) 11110111₂-11110100₂; б) 1001100111₂-101100111₂;
   в) 1100110111,001₂-1010001101,0011₂; г) 631,1₈-263,2₈; д) 262,8₁₆- 1D6,88₁₆.

3. а) 111101₂ 1111₂; б) 1751,2₈ 77,24₈; в) 40,4₁₆ 54,6₁₆.

Вариант 13

1. а) 1110100100₂+1010100111₂; б) 1100001100₂+1010000001₂;
   в) 1100111101,10101₂+1100011100,0011₂; г) 750,16₈+1345,34₈; д) 158,4₁₆+396,8₁₆.

2. а) 10000000010₂-100000001₂; б) 1110111111₂-1010001₂;
   в) 1011001100,1₂-100100011,01₂; г) 1110,62₈-210,46₈; д) 1D8,D8₁₆-110,4₁₆.

3. а) 11001₂ 1011100₂; б) 1440,4₈ 17,6₈; в) 14,8₁₆ 4A,3₁₆.

Вариант 14

1. а) 1101100101₂+100010001₂; б) 1100011₂+110111011₂;
   в) 1010101001,01₂+10011110,11₂; г) 1672,2₈+266,2₈; д) 18B,A₁₆+2E9,2₁₆.

2. а) 1110111011₂-100110111₂; б) 1110000101₂-1001110₂;
   в) 1011110100,0011₂-101001011,001₂; г) 1560,22₈-1142,2₈; д) 1A5,8₁₆-7D,A₁₆.

3. а) 111100₂ 111100₂; б) 274,5₈ 31,34₈; в) 13,4₁₆ 38,48₁₆.

Вариант 15

1. а) 1010110101₂+101111001₂; б) 1111100100₂+100110111₂;
   в) 111111101,01₂+1100111100,01₂; г) 106,14₈+322,5₈; д) 156,98₁₆+D3,2₁₆.

2. а) 1111100100₂-110101000₂; б) 1110110100₂-1101010101₂;
   в) 1100001,0101₂-1011010,101₂; г) 537,24₈-510,3₈; д) 392,B₁₆- 149,5₁₆.

3. а) 111100₂ 1101001₂; б) 1567,2₈ 147,2₈; в) 44,8₁₆ 13,6₁₆.

Вариант 16

1. а) 1111010100₂+10000000010₂; б) 101001011₂+10000000010₂;
   в) 1011101001,1₂+1110111,01₂; г) 1053,34₈+1513,2₈; д) 40A,E8₁₆+92,7₁₆.

2. а) 1001100011₂-111111110₂; б) 1110001000₂-1011110₂;
   в) 10000010111,001₂-1000010,01₂; г) 553,2₈-105,5₈; д) 298,9₁₆- 67,4₁₆.

3. а) 1110000₂ 1000101₂; б) 436,2₈ 57,14₈; в) 61,4₁₆ 1E,B8₁₆.

Вариант 17

1. а) 1010111011₂+11001000₂; б) 1111101010₂+1101100100₂;
   в) 1100011100,1001₂+10111100,1₂; г) 1711,6₈+1763,34₈; д) 30A,4₁₆+89,48₁₆.

2. а) 111100101₂-1101101₂; б) 1001011100₂-110110101₂;
   в) 1110011001,1011₂-1101101100,11₂; г) 1617,4₈-1442,6₈; д) 36C,2₁₆-38,5₁₆.

3. а) 1100001₂ 1011100₂; б) 104,54₈ 66,3₈; в) 4D,A₁₆ 69,6₁₆.

Вариант 18

1. а) 11100101₂+1110111111₂; б) 1101111₂+1000010₂;
   в) 1000010100,011₂+1111110111,011₂; г) 1664,1₈+501,3₈; д) 1F0,6₁₆+34,4₁₆.

2. а) 1011110110₂-1001011001₂; б) 1101101110₂-1000111000₂;
   в) 1101110010,01₂-111110110,01₂; г) 1653,1₈-415,6₈; д) 1B9,4₁₆-1B4,6₁₆.

3. а) 1010000₂ 1101011₂; б) 1605,14₈ 22,04₈; в) 24,4₁₆ 5E,4₁₆.

Вариант 19

1. а) 1011010111₂+1011110101₂; б) 1110001001₂+1110101011₂;
   в) 1100011000,101₂+10000010100,1₂; г) 1742,4₈+456,1₈; д) 29E,3₁₆+D8,4₁₆.

2. а) 1000001000₂-101110000₂; б) 1111011010₂-101001001₂;
   в) 1101101,1011₂-111110,001₂; г) 1026,66₈-124,2₈; д) 3E0,2₁₆- 1EA,2₁₆.

3. а) 1101101₂ 100000₂; б) 1355,5₈ 125,64₈; в) 20,4₁₆ 2F,4₁₆.

Вариант 20

1. а) 1100010100₂+1100011010₂; б) 1001001₂+1100010001₂;
   в) 1000110,101₂+1010010001,001₂; г) 433,4₈+1774,2₈; д) F7,4₁₆+178,4₁₆.

2. а) 10111110₂-1100010₂; б) 1111110000₂-100111011₂;
   в) 1011011100,011₂-111011111,1₂; г) 314,54₈-77,14₈; д) 233,68₁₆- DB,4₁₆.

3. а) 1110010₂ 1010111₂; б) 242,2₈ 73,2₈; в) 1D,A₁₆ 8,4₁₆.

Вариант 21

1. а) 1100101011₂+1010110010₂; б) 110100111₂+1100100010₂;
   в) 1100110100,0011₂+1101110000,01₂; г) 477,2₈+647,4₈; д) 372,4₁₆+1F0,4₁₆.

2. а) 1001100000₂-111001000₂; б) 1100001110₂-110000001₂;
   в) 1100110100,01₂-101100010,101₂; г) 543,46₈-517,2₈; д) 284,B₁₆-77,4₁₆.

3. а) 1100010₂ 100001₂; б) 1324,2₈ 75,54₈; в) 66,D₁₆ 1C,D₁₆.

Вариант 22

1. а) 1100101100₂+11010000₂; б) 101110110₂+11111101₂;
   в) 1001110001,01₂+1101000111,00101₂; г) 1213,34₈+1012,34₈; д) 3FE,58₁₆+339,7₁₆.

2. а) 111001111₂-110011100₂; б) 1010011001₂-1000100010₂;
   в) 1111110101,001₂-101100011,0011₂; г) 610,2₈-117,2₈; д) 404,B8₁₆-307,4₁₆.

3. а) 111011₂ 11110₂; б) 1210,2₈ 5,3₈; в) 4F,4₁₆ 56,D₁₆.

Вариант 23

1. а) 1011101111₂+10101100₂; б) 11001101₂+110010111₂;
   в) 101011011,011₂+11100010,1₂; г) 552,24₈+1443,2₈; д) 1BE,4₁₆+29A,38₁₆.

2. а) 1100011001₂-1010101001₂; б) 1010000100₂-1000110001₂;
   в) 101110011,11₂-1110001,01₂; г) 724,26₈-240,2₈; д) 30F,78₁₆- 91,8₁₆.

3. а) 100101₂ 100101₂; б) 113,2₈ 60,2₈; в) 2F,38₁₆ 37,7₁₆.

Вариант 24

1. а) 1110101₂+1101101001₂; б) 100001011₂+10000000111₂;
   в) 11010001,01₂+1110110100,0011₂; г) 1377,24₈+1770,64₈; д) 2FD,4₁₆+125,8₁₆.

2. а) 1100001001₂-110110110₂; б) 1011111110₂-1011111₂;
   в) 1111000000,011₂-100011000,01₂; г) 1332,2₈-1003,4₈; д) 3B1,B₁₆- 6E,9₁₆.

3. а) 11010₂ 1111₂; б) 231,3₈ 120,3₈; в) 49,8₁₆ 47,2₁₆.

Вариант 25

1. а) 1101110₂+10110001₂; б) 1100101110₂+1001100₂;
   в) 101100000,1001₂+110001101,01₂; г) 162,44₈+1643,2₈; д) E4,B₁₆+2A5,4₁₆.

2. а) 1001110111₂-1001000110₂; б) 10000010101₂-1011000000₂;
   в) 1100110000,0101₂-110000110,001₂; г) 1736,4₈-310,44₈; д) 277,4₁₆-5C,6₁₆.

3. а) 1011110₂ 110101₂; б) 425,2₈ 53,1₈; в) 26,9₁₆ 54,5₁₆.

Вариант 26

1. а) 10101010₂+10110010₂; б) 1010010₂+1111111101₂;
   в) 1111111100,11001₂+1011100,01₂; г) 1343,1₈+704,34₈; д) 20E,4₁₆+B3,78₁₆.

2. а) 100001100₂-1000101₂; б) 1011011011₂-1010101100₂;
   в) 1010111000,0101₂-1010001001,001₂; г) 1675,3₈-716,44₈; д) 2FB,2₁₆-7A,C₁₆.

3. а) 1011000₂ 10101₂; б) 442,7₈ 52,2₈; в) 1D,4₁₆ 19,6₁₆.

Вариант 27

1. а) 101110001₂+111101001₂; б) 111100101₂+1001101101₂;
   в) 1011101011,1₂+1001011100,0011₂; г) 1736,44₈+1636,34₈; д) 162,9₁₆+A2,6₁₆.

2. а) 1101001011₂-1001111001₂; б) 11100111₂-10001110₂;
   в) 1111100001,01₂-111111011,011₂; г) 1777,4₈-1047,2₈; д) 21E,6₁₆- F5,B₁₆.

3. а) 10111₂ 1000001₂; б) 1012,52₈ 140,6₈; в) 12,8₁₆ 43,5₁₆.

Вариант 28

1. а) 100000001₂+11011011₂; б) 100101110₂+1001001011₂;
   в) 1101101111,101₂+1010101100,001₂; г) 71,2₈+246,2₈; д) 240,8₁₆+1B0,2₁₆.

2. а) 1010010101₂-111110001₂; б) 1001101011₂-100110000₂;
   в) 1111110001,001₂-1010011000,0111₂; г) 640,16₈-420,2₈; д) 1E7,C8₁₆-E7,A₁₆.

3. а) 111111₂ 1101100₂; б) 1515,3₈ 115,2₈; в) 4E,8₁₆ 4D,A₁₆.

Вариант 29

1. а) 110010110₂+100100111₂; б) 1010110100₂+1111100110₂;
   в) 1111110111,1₂+1101111001,01₂; г) 1230,4₈+1126,2₈; д) CB,4₁₆+34C,D₁₆.

2. а) 1101111100₂-1101110₂; б) 1100100111₂-110011110₂;
   в) 1111000010,1₂-1110010110,01₂; г) 1213,6₈-1135,4₈; д) 31C,B8₁₆-24E,4₁₆.

3. а) 1100011₂ 1100100₂; б) 1465,2₈ 25,2₈; в) 36,A₁₆ 69,8₁₆.

Вариант 30

1. а) 1100110001₂+110101₂; б) 100001000₂+100110010₂;
   в) 110100000,0011₂+101000110,1₂; г) 610,1₈+1542,3₈; д) 147,8₁₆+2F3,4₁₆.

2. а) 1111110100₂-1010100100₂; б) 110000110₂-1000010₂;
   в) 1101110101,101₂-1010111110,01101₂; г) 1713,2₈-1111,3₈; д) 2BD,A₁₆-242,4₁₆.

3. а) 10111₂ 10110₂; б) 231,16₈ 31,02₈; в) 18,A₁₆ 4B,6₁₆.